A FreeForm Optics Application of Entropic Optimal Transport
Application du Transport Optimal Entropique à l'Optique Anidolique
Résumé
In this work, we address the “freeform optics” inverse problem of designing a reflector surface mapping a prescribed source distribution of light to a prescribed target far-field distribution, for the point light source and the extended light source. When the source is a point source, the light distribution has support only on the optics ray directions. In this setting, the inverse problem is well-posed for arbitrary source and target probability distributions. It can be recast as an optimal transport problem and is a classic example of an optimal transport problem with a non-euclidean displacement cost.
We explore the use of entropic Optimal Transport and the associated Sinkhorn algorithm to solve it numerically. As the reflector modeling is based on the Kantorovich potentials, several questions arise. First, on the convergence of the discrete entropic approximation and here we follow the recent work of Berman and in particular the imposed discretization requirements therein. Secondly, the correction of the bias induced by the entropic Optimal Transport using the recent notion of Sinkhorn divergences is shown to be necessary to achieve satisfactory results. For the point source problem, we discuss the necessary mathematical and numerical tools needed to produce and analyze the obtained numerical results. We find that Sinkhorn algorithm may be adapted to the resolution of the point source to far-field reflector problem.
We are not aware of any similar mathematical formulation in the extended source case: i.e. the source has an “étendue” with support in the product space: physical domain-ray directions. We propose to leverage the well-posed variational formulation of the point source problem to build a smooth parameterization of the reflector and the map modeling the reflection. Under this parametrization, we can construct a smooth cost function to optimize for the best solution in this class of reflectors. Both steps, the parameterization and the cost function, are related to entropic optimal transport distances. We also take advantage of recent progress in the optimization techniques and the efficient implementations of Sinkhorn algorithm to perform a numerical study.
Dans ce travail, nous abordons un problème inverse en optique anidolique consistant à déterminer une surface capable de réflechir une distribution de lumière source à une distribution cible en champ lointain, toutes deux prescrites. La source lumineuse peut être ponctuelle ou étendue. Lorsque la source est une source ponctuelle , la distribution est supportée uniquement sur les directions des rayons optiques. Dans ce contexte, le problème inverse est bien posé pour des distributions de probabilité source et cible arbitraires. Il peut être reformulé comme un problème de transport optimal et constitue un exemple célébre de transport optimal sous un coût de déplacement non euclidien.
Nous explorons l’utilisation du transport optimal entropique et de l’algorithme Sinkhorn associé pour le résoudre numériquement. La modélisation du réflecteur étant basée sur les potentiels de Kantorovich, plusieurs questions se posent. Premièrement, sur la convergence de l’approximation entropique discrète et nous suivons ici les travaux récents de Berman et en particulier les exigences de discrétisation qui y sont imposées. Deuxièmement, nous montrons que la correction du biais induit par le transport entropique Optimal peut être atteinte en utilisant la notion récente de divergences Sinkhorn. Pour le problème de source ponctuelle, nous discutons des outils mathématiques et numériques nécessaires pour produire et analyser les résultats numériques obtenus. Nous trouvons que l’algorithme Sinkhorn peut être adapté à la résolution du problème de la source ponctuelle au réflecteur en champ lointain.
Nous ne connaissons pas de formulation mathématique similaire dans le cas de la source étendue : la distribution de lumière source a support sur l’espace produit: domaine physique-directions des rayons. Nous proposons de tirer parti de la formulation variationnelle bien posée du problème de source ponctuelle pour construire une paramétrisation lisse du réflecteur et de l’application modélisant la réflexion. Sous cette paramétrisation, nous pouvons construire une fonction de coût lisse à optimiser pour trouver la meilleure solution dans cette classe de réflecteurs. Les deux étapes, la paramétrisation et la fonction de coût, sont liées à des distances de transport entropiques optimales. Nous profitons également des progrès récents des techniques d’optimisation et des implémentations efficaces de l’algorithme Sinkhorn pour réaliser une étude numérique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)